Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{π}{2}x（0≤x≤2）}\\{lo{g}_{2017}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（　　）

• A． （4，2018）
• B． （4，2020）
• C． （3，2020）
• D． （2，2020）

Answer 1

分析 根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围

解答 解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，

不妨设a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=1对称，
因此a+b=2．
当直线y=m=1时，由log₂₀₁₇（x-1）=1，
解得x-1=2017，即x=2018，
∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得2＜c＜2018，
因此可得4＜a+b+c＜2020，
即a+b+c∈（4，2020），
故选：B

点评 本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．