Question

若实数x，y满足1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

，则x²+（y+1）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题

分析：由1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

判定出x+2y≥0；利用基本不等式得出1+cos²πx≥2，又1≤1+cos²πx≤2，得出x=k（k∈Z）代入利用二次函数的最值求出x²+（y+1）²的最小值

解答： 解：∵1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

，
∴1+cos²πx=(x+2y)+

1

x+2y

，
∴x+2y≥0；
1+cos²πx=(x+2y)+

1

x+2y

≥2，
∵1≤1+cos²πx≤2，
∴cos²πx=1，此时x+2y=1，πx=kπ，
∴x=k（k∈Z），
∴x²+（y+1）²=

5k2-6k+1

4

+2，
对称轴k=

3

5

，
∴k=1时有最小值2，
故答案为：2．

点评：本题考查基本不等式的应用、三角函数的有界限、二次函数最值的求法．属于一道中档题．