Question

7．在区间（0，4]内随机取两个数a、b，则使得“命题‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’为真命题”的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意在区间（0，4]内随机的取两个数a，b，求出（a，b）对应的平面区域的面积，利用“命题‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’为真命题”时△=a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|，求出满足条件的平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．

解答 解：在区间（0，4]内随机的取两个数a，b，
点（a，b）对应的平面区域如下图中矩形所示：
若“命题‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’为真命题”，
则a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|对应的平面区域如下图中阴影所示：

∵S_矩形=4×4=16，
S_阴影=16-$\frac{1}{2}$×4×2=12，
∴“命题‘?x∈R，不等式x²+ax+b²＞0恒成立’为真命题”的概率为
P=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了几何概型的应用问题，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，是基础题目．