Question

12．已知正六边形ABCDEF中，G、H、I、J、K、L分别为AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点，圆O为六边形GHIJKL的内切圆，则在正六边形ABCDEF中投掷一点，该点不落在圆O内的概率为（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{8}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$

Answer 1

分析 设正六边形ABCDEF的边长为a，利用余弦定理求出HG的长，再求出圆O的半径R，计算对应圆O的面积和正六边形ABCDEF的面积，利用几何概型的概率公式即可求出对应的概率．

解答 解：设正六边形ABCDEF的边长为a，则

△BHG中，BH=BG=$\frac{1}{2}$a，∠B=120°，
∴HG²=BH²+BG²-2BH•BG•cos120°
=${（\frac{a}{2}）}^{2}$+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2×$\frac{a}{2}$×$\frac{a}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{3}{4}$a²，
∴HG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴圆O的半径为R=$\frac{1}{2}$HG•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$a，
圆O的面积为S_圆=πR²=$\frac{9}{16}$πa²，
∴正六边形ABCDEF的面积为
又S_{正六边形ABCDEF}=6×S_△AOB=6×$\frac{{\sqrt{3}a}^{2}}{4}$=$\frac{3{\sqrt{3}a}^{2}}{2}$，
所求的概率为P=1-$\frac{{S}_{圆}}{{S}_{正六边形ABCDEF}}$=1-$\frac{\frac{9}{16}{πa}^{2}}{\frac{3{\sqrt{3}a}^{2}}{2}}$=1-$\frac{\sqrt{3}π}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用几何概型的概率公式计算对应的概率问题，是基础题目．