Question

16．已知函数f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R．若满足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜0
• B． a＞-$\frac{1}{4}$
• C． a≤-2
• D． a＞-$\frac{1}{4}$或a≤-2

Answer 1

分析 推导出2^x-1+a≥b（2^-x+a），令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab，从而得到b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}＞0$，由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x）=b（2^1-x-1+a）=b（2^-x+a），
又f（x）≥g（x），∴2^x-1+a≥b（2^-x+a），
令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）
=$\frac{{2}^{x}}{2}+a-\frac{b}{{2}^{x}}$-ab
=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab，
①若b＜0，则$\underset{lim}{x→-∞}$（$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}+a-ab$）=+∞，矛盾；
②若b=0，则$F（x）=\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}+a-ab$在R上是增函数，
F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}+a≥$0的解集为[2，+∞），故a=-2．
③若b＞0，则F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}+a-ab$在R上是增函数，
F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab≥0的解集为[2，+∞），
∴2+a=b（$\frac{1}{4}+a$），
∴b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}＞0$，
解得a＜-2或a$＞-\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法和导数性质的合理运用．