Question

17．已知函数$f（x）=1-\frac{a}{x}+ln\frac{1}{x}（{a为实常数}）$．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，3）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求证：$ln\frac{n+1}{3}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求导数，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，3）上无极值，分类讨论，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明$ln\frac{1}{x}≤\frac{1}{x}-1$（当x=1时等号成立）．令$x=\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），则$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$，利用叠加法，即可证明结论．

解答 （I）解：当a=1时，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$，定义域为（0，+∞）．
令$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}=0$，则x=1．…（2分）
则当0＜x＜1时f'（x）＞0，当x＞1时f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（4分）
（II）解：令$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$…（5分）
若a≤0，则在区间（0，3）上f'（x）＜0恒成立，则f（x）在区间（0，3）上无极值；…（6分）
若a＞0，令 f'（x）=0，则x=a．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

故f（x）在x=a处取得极大值．要使f（x）在区间（0，3）上无极值，则a≥3．…（8分）
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]∪[3，+∞）．…（9分）
（III）证明：由（II）知，当a=1时，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$在x=1处取得最大值0，…（10分）
即$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}≤0$，∴$ln\frac{1}{x}≤\frac{1}{x}-1$（当x=1时等号成立）．
令$x=\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），则$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$…（12分）
∴$ln\frac{n+1}{3}=ln（{n+1}）-ln3=[{ln（{n+1}）-lnn}]+[{lnn-ln（{n-1}）}]+…+[{ln4-ln3}]$
$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+…+\frac{1}{3}$，
故$ln\frac{n+1}{3}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．…（14分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．