Question

方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点，且x₁=1000，x_n+1=

1

f( 1 xn )

，n为正整数，则x₂₀₁₁=（　　）

• A、2005
• B、2006
• C、2007
• D、2008

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先根据

x

a(x+2)

=x转化为二次方程，再由函数f（x）有唯一不动点可求出a的值，然后代入确定函数f（x）的解析式，进而可得到x_n+1、x_n的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案．

解答： 解：由

x

a(x+2)

=x得ax²+（2a-1）x=0．
因为f（x）有唯一不动点，
所以2a-1=0，即a=

1

2

．
所以f（x）=

2x

x+2

．所以x_n+1=

1

f( 1 xn )

=

2xn+1

2

=x_n+

1

2

．
所以x₂₀₁₁=x₁+

1

2

×2010=1000+

1

2

×2010=2005．
故选：A．

点评：本题主要考查函数不动点的知识、考查数列的函数性质以及等差数列的通项公式的表示法．