Question

已知函数f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g（x）=

1

sinθ•x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），求解下列各题：
（1）当m=1时，求函数y=f（x）的极小值；
（2）求θ的取值范围；
（3）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性求得极小值；
（2）由题意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．即可得出结论．
（3）由题意得（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．故f（x）-g（x）在[1，+∞]为单调函数，
等价于mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，m=1时，f（x）=x-lnx，x＞0，∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，
所以，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故f（x）_极小值=f（1）=1． 
（2）由题意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
（3）由（2），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．
∴（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在[1，+∞]为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，∴m≥1．
mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈（0，1]，∴m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查恒成立问题的等价转化思想及学生的计算能力，综合性强，属难题．