Question

已知函数f（x）=2asinxcosx-2acos²x+2a．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a＜0时，f（x）在[0，

π

2

]上的最小值为-2-

2

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数进行恒等变换，化成f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1，再考虑整体思想求函数的单调递减区间．
（2）通过恒等变换转化成f（x）=

2

asin(2x-

π

4

)+a，进一步利用定义域确定函数的值域，根据函数的最小值确定参数a的值．

解答： 解：当a=1时，函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x+2=

2

sin(2x-

π

4

)+1
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ （k∈Z）
解得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ （k∈Z）
所以函数f（x）的单调递减区间为：[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ] （k∈Z）
（2）函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x+2=asin2x-a（cos2x+1）+2a=

2

asin(2x-

π

4

)+a
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∵a＜0
∴当2x-

π

4

=

π

2

时，即x=

3π

8

时，f(x)min=-2-

2

所以：a=-

2

故答案为：（1）函数f（x）的单调递减区间为：x∈[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）
（2）a=-

2

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法，根据函数的最值确定参数的值．