Question

已知函数f（x）=

x2+1

x

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
（3）利用定义证明函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由分母不为0，得出定义域的范围；（2）根据函数的奇偶性的定义进行判断；（3）设；?1＜x₁＜x₂，得出f（x₁）＜f（x₂），从而求出函数的单调性．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）∵定义域关于原点对称，
又f（-x）=

(-x)2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）设；1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上的单调递增．

点评：本题考查了函数的定义域问题，函数的奇偶性问题，考查了利用定义法证明函数的单调性问题，是一道中档题．