题目内容
△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且ccosB+bcosC=4acosA．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为
，求
•
的值．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为
| 15 |
| AB |
| AC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）可由正弦定理，结合诱导公式，将原式化简，即可得到cosA；
（2）由同角的平方关系，得到sinA，再由面积公式，即可得到bc=8，再由数量积的定义即可得到结果．
（2）由同角的平方关系，得到sinA，再由面积公式，即可得到bc=8，再由数量积的定义即可得到结果．
解答：
解：（1）由于ccosB+bcosC=4acosA，
则由正弦定理，可得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
即有sin（B+C）=4sin（B+C）cosA，
则cosA=
；
（2）由于cosA=
，则sinA=
=
，
又S=
bcsinA=
，
则bc=8，
则有
•
=cbcosA=8×
=2．
则由正弦定理，可得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
即有sin（B+C）=4sin（B+C）cosA，
则cosA=
| 1 |
| 4 |
（2）由于cosA=
| 1 |
| 4 |
1-
|
| ||
| 4 |
又S=
| 1 |
| 2 |
| 15 |
则bc=8，
则有
| AB |
| AC |
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查平面向量及运用，考查平面向量的数量积的定义，同时考查正弦定理和诱导公式及同角公式的运用，属于中档题．
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