Question

如图，半圆的圆心在直角坐标原点，点A，D，E的坐标分别为A（2，0），D（1，0），E（-1，0），且点B在半圆上自点D逆时针向点E运动，三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，则四边形OACB的面积的最大值是（　　）

• A、

  5

  2

  +

  5

• B、2+2

  5

• C、

  5

  2

  +2

  5

• D、2+

  5

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦定理可求得AB²=5-4cosθ；于是S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

-2cosθ，B（cosθ，sinθ），易求S_△AOB=sinθ；四边形OACB的面积S=

5

2

-2cosθ+sinθ=

5

2

+

5

sin（θ+φ），从而可得答案．

解答： 解：设∠BOA=θ，由余弦定理得，AB²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1+4-2×1×2cosθ=5-4cosθ；
∵三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，
∴S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

-2cosθ；
又B（cosθ，sinθ），
∴S_△AOB=

1

2

×OA×sinθ=

1

2

×2sinθ=sinθ；
∴四边形OACB的面积S=

5

2

-2cosθ+sinθ=

5

2

+

5

sin（θ+φ）（其中tanφ=-2），
∴S_max=

5

2

+

5

，
故选：A．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，求得四边形OACB的面积S=

5

2

+

5

sin（θ+φ）是关键，着重考查余弦定理与辅助角公式的应用，考查三角函数的最值，属于中档题．