Question

4．.已知f（x）=x²-2mx+2，
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出m的范围即可；（2）设F（x）=x²-2mx+2-m，通过讨论m的范围结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2mx+2，
如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
则△=4m²-8＜0，解得，-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$；
（2）设F（x）=x²-2mx+2-m，则当x∈[-1，+∞）时，F（x）≥0恒成立
当△=4（m-1）（m+2）＜0即-2＜m＜1时，F（x）＞0显然成立；
当△≥0时，如图所示：
F（x）≥0恒成立的充要条件为：$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ F（-1）≥0\\-\frac{-2m}{2}≤-1\end{array}\right.$，解得-3≤m≤-2．
综上可得实数m的取值范围为[-3，1）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．