Question

3．（1）求经过点P（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$）和Q（-2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$）的双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设双曲线的标准方程为nx²+my²=1（mn＜0），代入已知点的坐标可得关于m，n的方程组，求解可得m，n的值，则双曲线方程可求；
（2）由椭圆方程求出焦点坐标，再由A的纵坐标求出A的坐标，设双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），列关于a，b的方程组，求出a，b得答案．

解答 解：（1）设双曲线的标准方程为nx²+my²=1（mn＜0），
又双曲线经过点P（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$）和Q（-2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8n+3m=1}\\{12n+6m=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴所求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的焦点为（0，-3）、（0，3），
把y=4代入椭圆方程可得x=$±\sqrt{15}$．
∴A点的坐标为（$±\sqrt{15}$，4），
设双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=9}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{15}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=5}\end{array}\right.$．
∴所求的双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了双曲线标准方程的求法，是中档题．