Question

1．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S${\;}_{△DE{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，离心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求$\frac{{|{{F_2}A}||{{F_2}B}|}}{{{S_{△OAB}}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}（a-c）b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，---------------------------------（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，故所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$----------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（1）知F₂（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，
整理得（3t²+4）y²+6ty-9=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{t}^{2}+4}}\end{array}\right.$，-----------------------（8分）
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$，|AF₂|=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{1}|$，|BF₂|=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{2}|$，
$\frac{{|{{F_2}A}||{{F_2}B}|}}{{{S_{△OAB}}}}$=$\frac{2（1+{t}^{2}）\frac{9}{3{t}^{2}+4}}{\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{（3{t}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}}$=$\frac{3\sqrt{1+{t}^{2}}}{2}$$≥\frac{3}{2}$，-----------------------（11分）
当且仅当t=0时上式取等号．∴$\frac{{|{{F_2}A}||{{F_2}B}|}}{{{S_{△OAB}}}}$的最小值为：$\frac{3}{2}$．--------------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力．