Question

19．若点P是函数$y={e^x}-{e^{-x}}-3x（-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}）$图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 对函数求导y′=e^x+e^-x-3，由-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，利用基本不等式可求出导数的范围，进而可求倾斜角的范围．

解答 解：y′=e^x+e^-x-3，
∵-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴0＞e^x+e^-x-3≥$2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-3=-1，当且仅当x=0时取等号，
即-1≤tanα＜0，
∴$\frac{3π}{4}$≤α＜π即倾斜角的最小值$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．