Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0
（1）求角A的大小
（2）若a=$\sqrt{3}$，△ABC的面积S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可解得A的值．
（2）由三角形面积公式可求bc=3，利用余弦定理可求b+c=2$\sqrt{3}$，联立即可解得a=b=c=$\sqrt{3}$，即可判断得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵由（2b-c）cosA-acosC=0，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
∴得：2sinBcosA=sin（A+C），即：2sinBcosA=sinB，…（4分）
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，因为0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）△ABC的形状为等边三角形，理由如下：
∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，△ABC的面积S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴利用三角形面积公式可得：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：bc=3①
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-9，可得：b+c=2$\sqrt{3}$，②
∴利用①②联立，可解得：c=b=a=$\sqrt{3}$．
∴三角形为等边三角形．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．