Question

8．直线ax+by=1与圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$相交于不同的A，B两点（其中a，b是实数），且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0（O是坐标原点），则a²+b²-2a的取值范围为（　　）

• A． （1，9+4$\sqrt{2}$）
• B． （0，8+4$\sqrt{2}$）
• C． （1，1+2$\sqrt{2}$）
• D． （4，8）

Answer 1

分析 由题意，圆心到直线的距离$\frac{1}{2}$＞d＞$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，确定4＜a²+b²＜8，表示以原点为圆心，2，2$\sqrt{2}$为半径的圆环．a²+b²-2a=（a-1）²+b²-1，（a-1）²+b²表示（a，b）与（1，0）的距离的平方，其范围为（1，（2$\sqrt{2}$+1）²），即可得出结论．

解答 解：由题意，圆心到直线的距离$\frac{1}{2}$＞d＞$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴4＜a²+b²＜8，
表示以原点为圆心，2，2$\sqrt{2}$为半径的圆环．
a²+b²-2a=（a-1）²+b²-1，
（a-1）²+b²表示（a，b）与（1，0）的距离的平方，其范围为（1，（2$\sqrt{2}$+1）²），
∴a²+b²-2a的取值范围为（0，8+4$\sqrt{2}$），
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，训练了利用配方法，解答此题的关键在于确定4＜a²+b²＜8，是中档题．