Question

11．近日，某公司对其生产的一款产品进行促销活动，经测算该产品的销售量P（单位：万件）与促销费用x（单位：万元）满足函数关系：p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品件数为P（单位：万件）时，还需投入成本10+2P（单位：万元）（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+$\frac{30}{p}$）元/件，假定生产量与销售量相等．
（Ⅰ）将该产品的利润y（单位：万元）表示为促销费用x（单位：万元）的函数；
（Ⅱ）促销费用x（单位：万元）是多少时，该产品的利润y（单位：万元）取最大值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+$\frac{30}{p}$）p-x-（10+2p），
将p=3-$\frac{2}{x+1}$代入化简得：y=26-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y′=-$\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数26-$\frac{4}{x+1}$-x在（1，a）上单调递减，
从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，因为函数26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上单调递增，
所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为23 万元；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为26-$\frac{4}{a+1}$-a 万元．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．