Question

16．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=ra_n+r（n∈N^*，实数r是非零常数），则“r=1”是“数列{a_n}是等差数列”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据等差数列的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．

解答 解：当r=1时，等式a_n+1=r•a_n+r化为a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，数列{a_n}是首项a₁=1，公差为1的等差数列；
“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的充分条件，
当r不等于1时，
由a_n+1=ra_n+r=$\frac{{r}^{2}}{r-1}$-$\frac{r}{r-1}$，得a_n+1+$\frac{r}{r-1}$=r（a_n+$\frac{r}{r-1}$）
所以，数列{a_n+$\frac{r}{r-1}$}是首项为$\frac{2r}{r-1}$，公比为r的等比数列
所以，a_n+$\frac{r}{r-1}$=$\frac{2r}{r-1}$r^n-1，
当r=$\frac{1}{2}$时，a_n=1．{a_n}是首项为1，公差为0的等差数列．
因此，“r=1”不是“数列{a_n}成等差数列”的必要条件．
综上可知，“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的充分但不必要条件．
故选A．

点评 本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列．此题是中档题．