Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|≠0，且关于x的函数f（x）=

1

6

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x+2014在R上有极值，则

a

与

b

的夹角θ的取值范围为（　　）

• A、（0，

  π

  3

  ]
• B、（

  π

  2

  ，π]
• C、（

  π

  3

  ，π]
• D、（

  π

  3

  ，

  5π

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,平面向量数量积的运算

专题：综合题,导数的综合应用

分析：根据函数在实数上有极值求出导函数，使得导函数等于零有解，即一元二次方程有解，判别式大于零，得到不等关系，把不等关系代入夹角公式，得到夹角余弦的范围，求出角的范围．

解答： 解：∵f（x）=

1

6

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x+2014，
∴f′（x）=

1

2

x²+|

a

|x+

a

•

b

，
∵函数在实数上有极值，
∴△=|

a

|²-2

a

•

b

＞0，
∵|

a

|=|

b

|≠0，
∴cosθ＜

1

2

，
∴θ∈（

π

3

，π]，
故选：C．

点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．?