Question

15．如图为一简单几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=DA=2，EC=1，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求四棱锥B-CEPD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，推导出四边形NFCE为平行四边形，从而NE∥AC，推导出AC⊥PD，由此能证明NE⊥PD．
（Ⅱ）推导出平面PDCE⊥平面ABCD，从而BC是四棱锥B-PDCE的高，由此能法语出四棱锥B-CEPD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，
∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且NF=$\frac{1}{2}$PD，…（3分）
又EC∥PD，且EC=$\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC，且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，（5分）
∴NE∥FC，即NE∥AC． （6分）
又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，∴NE⊥PD．（7分）
解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．（9分）
∵BC⊥CD，平面PDCCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．（10分）
∴BC是四棱锥B-PDCE的高．（11分）
∵${S}_{梯形PDCE}=\frac{1}{2}（PD+EC）•DC$=$\frac{1}{2}×3×2=3$，（12分）
∴四棱锥B-CEPD的体积V_B-CEPD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$=$\frac{1}{3}×3×2=2$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．