Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，该椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A是椭圆上一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过F₂的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为$\frac{2}{3}$，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设F₂（c，0）（c＞0），由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A是椭圆上一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为$\frac{1}{3}$．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，化简利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，然后求解直线l的方程．当直线l垂直于x轴时，运算即可．

解答 解：（1）设F₂（c，0）（c＞0），由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$a=\sqrt{2}c$，∴b=c，
∵$A{F_2}⊥{F_1}{F_2}，解得A（c，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}c）$，直线$A{F_1}的方程为y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+c）$
即$A{F_1}的方程为\sqrt{2}x±y+\sqrt{2}c=0$，
∵$O到A{F_1}的距离为\frac{1}{3}，即\frac{{\sqrt{2}c}}{{\sqrt{18}}}=\frac{1}{3}$，∴$a=\sqrt{2}，b=c=1$
即所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．            …（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程得：（1+2k²）x-4k²x+2k²-2=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$k²…（8分）
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}$
点O到直线l的距离$d=\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（10分）
${S_{△AOB}}=\frac{{2\sqrt{2}•|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}$，解得k²=1，∴k=±1…（12分）
所以，直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0
当直线l垂直于x轴时，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}≠\frac{2}{3}$，不符合                …（14分）
所以，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．…（15分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查设而不求思想方法的应用，考查计算能力．