题目内容
11．已知等差数列{an}的公差d不为0，且${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，…，${a_{k_n}}$，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求$\frac{a_1}{d}$的值；
（2）当$\frac{a_1}{d}$为何值时，数列{kn}为等比数列；
（3）若数列{kn}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式${a_n}+{a_{k_n}}＞2{k_n}$恒成立，求a1的取值范围．
分析 （1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出$\frac{a_1}{d}$的值．
（2）设数列{kn}为等比数列，则${k_2}^2={k_1}{k_3}$，推导出$\frac{a_1}{d}=1$，从而${a_{k_n}}={k_n}d$，进而${k_n}={k_1}{q^{n-1}}$．由此得到当$\frac{a_1}{d}=1$时，数列{kn}为等比数列．
（3）由数列{kn}为等比数列，a1=d，${k_n}={k_1}{q^{n-1}}（q＞1）$．得到${a_1}＞\frac{{2{k_1}{q^{n-1}}}}{{n+{k_1}{q^{n-1}}}}$，$0＜\frac{1}{a_1}＜\frac{{n+{k_1}{q^{n-1}}}}{{2{k_1}{q^{n-1}}}}=\frac{1}{2}+\frac{q}{{2{k_1}}}\frac{n}{q^n}$恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得$\frac{n_1}{{{q^{n_1}}}}＜ε$．
要证$\frac{n_1}{{{q^{n_1}}}}＜ε$，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．
解答 解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，
所以${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+7d）$，…2分
整理可得：4d2=3a1d．
因为d≠0，所以$\frac{a_1}{d}=\frac{4}{3}$． …4分
（2）设数列{kn}为等比数列，则${k_2}^2={k_1}{k_3}$．
又因为${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，${a_{k_3}}$成等比数列，
所以$[{{a_1}+（{k_1}-1）d}][{{a_1}+（{k_3}-1）d}]={[{{a_1}+（{k_2}-1）d}]^2}$．
整理，得${a_1}（2{k_2}-{k_1}-{k_3}）=d（{k_1}{k_3}-{k_2}^2-{k_1}-{k_3}+2{k_2}）$．
因为${k_2}^2={k_1}{k_3}$，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．
因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即$\frac{a_1}{d}=1$．…6分
当$\frac{a_1}{d}=1$时，an=a1+（n-1）d=nd，所以${a_{k_n}}={k_n}d$．
又因为${a_{k_n}}={a_{k_1}}{q^{n-1}}={k_1}d{q^{n-1}}$，所以${k_n}={k_1}{q^{n-1}}$．
所以$\frac{{{k_{n+1}}}}{k_n}=\frac{{{k_1}{q^n}}}{{{k_1}{q^{n-1}}}}=q$，数列{kn}为等比数列．
综上，当$\frac{a_1}{d}=1$时，数列{kn}为等比数列．…8分
（3）因为数列{kn}为等比数列，由（2）知a1=d，${k_n}={k_1}{q^{n-1}}（q＞1）$．
${a_{k_n}}={a_{k_1}}{q^{n-1}}={k_1}d{q^{n-1}}={k_1}{a_1}{q^{n-1}}$，an=a1+（n-1）d=na1．
因为对于任意n∈N*，不等式${a_n}+{a_{k_n}}＞2{k_n}$恒成立．
所以不等式$n{a_1}+{k_1}{a_1}{q^{n-1}}＞2{k_1}{q^{n-1}}$，
即${a_1}＞\frac{{2{k_1}{q^{n-1}}}}{{n+{k_1}{q^{n-1}}}}$，$0＜\frac{1}{a_1}＜\frac{{n+{k_1}{q^{n-1}}}}{{2{k_1}{q^{n-1}}}}=\frac{1}{2}+\frac{q}{{2{k_1}}}\frac{n}{q^n}$恒成立．…10分
下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得$\frac{n_1}{{{q^{n_1}}}}＜ε$．
要证$\frac{n_1}{{{q^{n_1}}}}＜ε$，即证lnn1＜n1lnq+lnε．
因为$lnx≤\frac{1}{e}x＜\frac{1}{2}x$，则$ln{n_1}=2ln{n_1}^{\frac{1}{2}}＜{n_1}^{\frac{1}{2}}$，
解不等式${n_1}^{\frac{1}{2}}＜{n_1}lnq+lnε$，即${（{n_1}^{\frac{1}{2}}）^2}lnq-{n_1}^{\frac{1}{2}}+lnε＞0$，
可得${n_1}^{\frac{1}{2}}＞\frac{{1+\sqrt{1-4lnqlnε}}}{2lnq}$，所以${n_1}＞{（\frac{{1+\sqrt{1-4lnqlnε}}}{2lnq}）^2}$．
不妨取${n_0}=[{{{（\frac{{1+\sqrt{1-4lnqlnε}}}{2lnq}）}^2}}]+1$，则当n1＞n0时，原式得证．
所以$0＜\frac{1}{a_1}≤\frac{1}{2}$，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）． …16分
点评 本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．
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小学同步三练核心密卷系列答案| A． | {1} | B． | {2} | C． | {3} | D． | {2，3} |
我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．| A． | （2，2.25） | B． | （2.25，2.5） | C． | （2.5，2.75） | D． | （2.75，3） |