Question

已知函数， ．
（Ⅰ）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由

Answer 1

Ⅰ）当时，,符合题意．---------1分
当时，的对称轴方程为，-------2分
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，a的取值范围是，或．          …………………………4分
（Ⅱ），---------5分
因在区间（）内有两个不同的零点,所以，
即方程在区间（）内有两个不同的实根． …………6分
设 ，   
  ………7分
令，因为为正数，解得或（舍） 
当时, , 是减函数；  
当时, ，是增函数．          …………………………8分
为满足题意，只需在（）内有两个不相等的零点, 故
        解得  

(I)本题转化为在上恒小于等于零或恒大于等于零.
(II)求出的解析式，然后研究其在区间内的单调性和极值，画出其画图，数形结合求解.