Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，F为PB中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AD=2，求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AF⊥PB，PA⊥平面ABCD，PA⊥BC，BC⊥AB，由此能证明AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=AB=1，F为PB中点，
∴AF⊥PB，
∵底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，BC⊥AB，又BC∩AB=B，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AF，
又BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，1），F（

1

2

，0，

1

2

），

DF

=（

1

2

，-2，

1

2

），

DC

=（1，0，0），
设平面DEC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DF = 1 2 x-2y+ 1 2 z=0 n • DC =x=0

，取z=2，得

n

=（0，1，2），

BF

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

BC

=（0，2，0），
设平面BEC的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • BF =- 1 2 a+ 1 2 c=0 m • BC =2b=0

，取a=1，得

m

=(1，0，1)，
则cos＜

n

，

m

＞=

2

5 × 2

=

10

5

，
∵二面角D-EC-B的平面角是钝角，
∴二面角D-EC-B的平面角的余弦值为-

10

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．