Question

5．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x-2）+f（2），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-4，令函数g（x）=f（x）-m，若g（x）在区间[-10，2]上有6个零点，分别记为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=-24．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，利用周期作出f（x）的函数图象，根据图象和对称性得出零点之和．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x-2）+f（2），
∴f（2）=f（-2）+f（2），∴f（2）=0．
∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）在[-10，2]上的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）在[-10，2]上有3条对称轴x=-8，x=-4，x=0，
∴6个零点之和为2×（-8）+2×（-4）+2×0=-24．
故答案为：-24．

点评 本题考查了函数周期性和对称性的应用，属于中档题．