Question

7．曲线y=ln（2x+1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用导数求出与直线2x-y+3=0平行的直线与曲线y=ln（2x+1）的切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．

解答 解：由y=ln（2x+1），得y′=$\frac{2}{2x+1}$，
设与直线2x-y+3=0平行的直线切曲线y=ln（2x+1）于点（x₀，y₀），
则$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{2}{2{x}_{0}+1}$，
由$\frac{2}{2{x}_{0}+1}=2$，得x₀=0，
∴切点坐标为（0，0），
则曲线y=ln（2x+1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为$\frac{|3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．