Question

5．已知函数y=sin x的图象经过以下变换后得到y=f（x）的图象：先向右平移 $\frac{π}{4}$； 然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍； 最后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍；
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式，并求其单调增区间；
（Ⅱ）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数图象平移法则，得出函数y=f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）利用列表、描点、连线的方法得出函数在一个周期的图象．

解答 解：（Ⅰ）函数y=sin x的图象向右平移 $\frac{π}{4}$，得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象；
纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的图象；
横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的图象；
∴函数y=f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+4kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+4kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）列表如下；

$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

用“五点法”在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象如图所示；

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也l考查了图象平移与五点法画图的问题，是基础题．