Question

20．对于a，b∈R，定义运算“?”：$a?b=\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}-ab，a≤b}\\{{b^2}-ab，a＞b}\end{array}}\right.$，设f（x）=（2x-1）?（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{5-\sqrt{3}}}{4}，1）$
• B． $（1，\frac{{5+\sqrt{3}}}{4}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．

解答 解：∵2x-1≤x-1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）^{2}-（2x-1）（x-1），x≤0\\（x-1）^{2}-（2x-1）（x-1），x＞0\end{array}\right.$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\{-x}^{2}+x，x＞0\end{array}\right.$，
画出函数的图象，如下图所示：

从图象上观察当关于x的方程为f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根时，t的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$），
当-x²+x=t时，有x₁+x₂=1，
当2x²-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x₃=$\frac{1-\sqrt{1+8t}}{4}$，
∴x₁+x₂+x₃=1+$\frac{1-\sqrt{1+8t}}{4}$=$\frac{5-\sqrt{1+8t}}{4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$），
令y=$\frac{5-\sqrt{1+8t}}{4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$），则函数是减函数，
又由t=0时，y=1，t=$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{5-\sqrt{3}}{4}$，
故x₁+x₂+x₃的取值范围是$（\frac{5-\sqrt{3}}{4}，1）$，
故选：A

点评 本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．