Question

【题目】设，函数，为函数的导函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数与函数存在相同的零点，求实数a的值；

（3）求函数在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论可得；

（2）由（1）可知时，函数的零点是，经检验不符题意，当时，函数的零点是和，分别计算可得；

（3）结合（1）求出，再分类讨论可得.

解：（1）因为

所以，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，当或时，，当时，，

所以函数在和在上单调递增，在上单调递减；

同理当时，函数在和在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，函数的零点是0，而，所以不合题意，舍去；

当时，函数的零点是和，

因为，

所以由函数与函数存在相同的零点，

得，即，解得.

（3）由（1）得，

当时，函数在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为；

当，即时，

函数在区间上的最小值为；

当，即时，

因为，，

所以，此时函数的最小值为.

所以函数在区间上的最小值为