Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）先求解导数，再结合导数式特点，进行分类讨论，可得单调性；

（2）结合极值点的特征，把目标式中双变量转化为单变量，结合函数单调性可证.

（1）解：由题得，其中，

考察，，其中对称轴为，.

若，则，

此时，则，所以在上单调递增；

若，则，

此时在上有两个根，，且，

所以当时，，则，单调递增；

当时，，则，单调递减；

当时，，则，单调递增，

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，

所以

.

令，，则只需证明，

由于，故在上单调递减，所以.

又当时，，，

故，

所以，对任意的，.

综上，可得.