Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论极值点的个数；

（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）求得函数的导函数，对分成四种情况进行分类讨论，根据的单调区间，判断出极值点的个数.

（II）首先结合（I）以及判断出，且，由此求得的表达式，利用这个表达的导数求得最大值为，由此证得.

（Ⅰ）的定义域为，，

①若，则，

所以当时，；当时，，

所以在上递减，在递增.

所以为唯一的极小值点，无极大值，

故此时有一个极值点.

②若，令，

则，，

当时，，

则当时，；当时，；

当时，.

所以－2，分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

当时，，

且不恒为0，

此时在上单调递增，

无极值点

当时，，

则当时，；当时，

；当时，.

所以，－2分别为的极大值点和极小值点，

故此时有2个极值点.

综上，当时，无极值点；

当时，有1个极值点；

当或时，有2个极值点.

（Ⅱ）证明：若是的一个极值点，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，则，

所以.

令，则，

所以，

故

又因为，所以，令，得.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以是唯一的极大值点，也是最大值点，

即，

故，即.