Question

【题目】已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,

则平面,即可证得平面平面．

(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，

且,最大即为最短时,即是的中点

建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.

（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．

由题意，得，，．

在中，，O为AC的中点，，

在中，，，，，．

，平面，平面ABC，

平面PAC，平面平面ABC．

（2）由（1）知，，，平面PAC，

是直线BM与平面PAC所成的角，

且，

当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．

由平面ABC，，

，，

于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，

则，

，

设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，

则由得：.

令，得，，即.

则.

直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.