Question

【题目】定义：若函数的导函数是奇函数（），则称函数是“双奇函数” ．函数．

（1）若函数是“双奇函数”，求实数的值；

（2）假设．

（i）在（1）的条件下，讨论函数的单调性；

（ii）若，讨论函数的极值点．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）（i）见解析；（ii）见解析

【解析】

（1）由题意结合“双奇函数”的定义可知对任意且成立， 据此计算实数a的值即可；

（2）（i）由题意结合(1)的结论可知，．由导函数的符号讨论函数的单调性即可；

（ii）由函数的解析式可知当时，．

令，则据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可.

当时， ，据此分段讨论函数的极值的情况即可.

（1）因为，所以．

又因为函数是“双奇函数”，

所以对任意且成立，

所以，解得．

（2）（i）（，且）．

由（1）求解知，，则，所以．

令，得；令，得，

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（ii）．

当时，．

令，则（舍去）．

分析知，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值点，不存在极大值点．

当时，

当时，．令，得（舍）．

若，即，则，所以在上单调递增，函数在区间上不存在极值点；

若，即，则当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上存在一个极小值点，不存在极大值点．．

当时，．

令，得，记．

若，即时，，所以在上单调递减，函数在上不存在极值点；

若，即时，则由，得．

分析知，当时，；当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数存在两个极值点．

综上，当时，函数存在两个极值点，且极小值点，极大值点

；

当时，函数无极值点；

当时，函数的极小值点，无极大值点．