Question

9．已知函数f（x）=x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，其中e是自然对数的底数．若f（a-1）+f（2a²）≤0．则实数a的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a²≤1-a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$的导数为：
f′（x）=3x²-2+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥-2+2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=0，
可得f（x）在R上递增；
又f（-x）+f（x）=（-x）³+2x+e^-x-e^x+x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a-1）+f（2a²）≤0，
即有f（2a²）≤-f（a-1）=f（1-a），
即有2a²≤1-a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．