Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，f（x）≥-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+$\frac{π}{3}$），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sinxcosx，
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$co2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）-sin2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x，
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）≥-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题