Question

11．F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点．则|PA|+|PF|的最小值与|PA|+2|PF|的最小值之和为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{5}$+3
• C． 7-$\sqrt{5}$
• D． 7+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 ①设椭圆的左焦点为F'，连接PF'、AF'．可得：|PF|+|PF'|=2a=4．由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）．当P、A、F'三点共线，且P在F'A延长线上时，|PA|-|PF'|取得最小值为：-|AF'|．
②由椭圆的标准方程可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，右准线为x=4，|PA|+2|PF|即为|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|，根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交于B点，则|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|的最小值为|AB|．

解答 解：①设椭圆的左焦点为F'，连接PF'、AF'．
∵点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上运动，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
当P、A、F'三点共线，且P在F'A延长线上时，|PA|-|PF'|取得最小值．
∴|PA|-|PF'|的最小值为：-|AF'|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=-$\sqrt{5}$
由此可得|PA|+|PF|的最大值为4-$\sqrt{5}$．
②∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，右准线为x=4，
∴|PA|+2|PF|即为|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|，
∴根据椭圆的第二定义：
过A作右准线的垂线，交于B点，
则|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|的最小值为|AB|．
∵|AB|=3，
∴|PA|+2|PF|的最小值为：3．
∴|PA|+|PF|的最小值与|PA|+2|PF|的最小值之和为7-$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、第二定义，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．