Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$ 满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，需求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积的值，又由$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且知道$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，故可将$\overrightarrow{b}$转化为$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$表示，代入进行线性运算即可．也可以利用向量的几何意义，结合图象解三角形．解题时，应注意向量$\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{b}$ 的夹角范围．

解答 解法一：
解：∵$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
∴$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{a}}^{2}$
∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$ 
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0$
又 $|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=4$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-4$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=-4
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$＜0  且$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞∈[0°，180°]$
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=120°$即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
故选D．
解法二：数形结合
记$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$，则$|\overrightarrow{AB}|=2，|\overrightarrow{BC}|=4$
∴$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
由于题中需求的向量$\overrightarrow{a}和\overrightarrow{b}的夹角未知$．
故可将$\overrightarrow{a}$固定，$\overrightarrow{b}$的终点C则是以点B为原点，以4为半径的圆上的动点，如上图所示．
又∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$
∴点C运动至图（2）处，满足 $\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$
此时，△ABC是以∠A=90°的直角三角形，且|AB|=2，|BC|=4
∴∠ABC=60°
故向量$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$的夹角是∠ABC的补角，即向量$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$的夹角是120°
故选D．

点评 主要考查向量的夹角公式，向量的数量积基本运算．考查了向量的线性运算．考查了代入法，数形结合思想．