Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若b=2$\sqrt{2}$，B=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；
（2）利用三角形面积公式进行解答．

解答 （1）证明：∵$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$，∴$a•\frac{1+cosC}{2}+c•\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}b$
由正弦定理得，$sinA•\frac{1+cosC}{2}+sinC•\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}sinB$…（2分）
化简得，sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化简得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）由（1）得：a+c=2b，
∵b=2$\sqrt{2}$，B=$\frac{π}{3}$，a+c=2b，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（2b）²-3ac，
∴ac=b²=8，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×8×sin$\frac{π}{3}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．即△ABC的面积是2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．