Question

一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点A，B所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．
（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；
（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得：保持其缺口宽度不变，需在A，B点处分别作抛物线的切线．以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得边界曲线的方程，求出切线方程，可得梯形的面积．
（2）若保持其缺口深度不变，需使两腰分别为抛物线的切线．梯形腰所在直线与抛物线切于P(x0，

1

2

x02)时面积最小．

解答： 解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，2），B（2，2），
从而边界曲线的方程为y=

1

2

x2，x∈[-2，2]．
因为抛物线在点B处的切线斜率k=y'|_x=2=2，
所以，切线方程为y=2x-2，与x轴的交点为（1，0）．
此时梯形的面积S=

1

2

×(2+4)×2=6平方分米，即为所求．
（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于P(x0，

1

2

x02)时面积最小．
此时，切线方程为y-

1

2

x02=x0(x-x0)，
其与直线y=2相交于(

x02+4

2x0

，2)，
与x轴相交于(

1

2

x0，0)．
此时，梯形的面积S=

1

2

(

x02+4

x0

+x0)×2=2x0+

4

x0

，x₀∈（0，2]．…（11分）
（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）S′=2-

4

x02

=0，得x0=

2

，
当x0∈(0，

2

]时，S=f（x₀）单调递减；
当x0∈(

2

，2]时，S=f（x₀）单调递增，
故，当x0=

2

时，面积有最小值为4

2

．

点评：本题考查抛物线的应用，考查梯形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．