Question

设函数f（x）=lnx+

1

2

x²-（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若

b

a

≥e（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数有两个极值点，结合定义域，知其导数有两个正实数根，得到不等式组，求出m的范围；
（Ⅱ）由题知a，b是两个极值点，结合韦达定理，得到f（b）-f（a）关于a，b的关系式，再用换元t=

b

a

，构造关于t的函数，求出g（t）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） f′(x)=

x2-(m+2)x+1

x

，
则由题意得方程x²-（m+2）x+1=0有两个正根，
故

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

，
解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0．
（Ⅱ）f(b)-f(a)=ln

b

a

+

1

2

(b2-a2)-(m+2)(b-a)，
又m+2=a+b，ab=1∴f(b)-f(a)=ln

b

a

-

1

2

(b2-a2)=ln

b

a

-

1

2

(

b2-a2

ab

)=ln

b

a

-

1

2

(

b

a

-

a

b

)，
设t=

b

a

(t≥e)，故，构造函数g(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)(t≥e)
g′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，g(t)≤g(e)=1-

e

2

+

1

2e

，
f（b）-f（a）的最大值为1-

e

2

+

1

2e

．

点评：本题考查了，极值，韦达定理，换元法，以及构造思想．属于中档题．