Question

定义在（0，

π

2

）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f′（x）＞f（x）•tanx成立．则（　　）

• A、

  3

  f（

  π

  6

  ）＜f（

  π

  3

  ）
• B、

  3

  f（1）＜2cos1•f（

  π

  6

  ）
• C、

  6

  f（

  π

  6

  ）＞2f（

  π

  4

  ）
• D、

  2

  f（

  π

  4

  ）＞f（

  π

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件构造函数g（x）=f（x）cosx，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．

解答： 解：当x∈（0，

π

2

），cosx＞0，
则不等式f′（x）＞f（x）•tanx等价为f′（x）＞f（x）•

sinx

cosx

，
即cosxf′（x）-sinxf（x）＞0，
设g（x）=f（x）cosx，
则g′（x）=cosxf′（x）-sinxf（x）＞0，
即函数g（x）在（0，

π

2

）单调递增，
则g（

π

6

）＜g（

π

3

），g（1）＞g（

π

6

），g（

π

6

）＜g（

π

4

），g（

π

4

）＜g（

π

3

），
即

3

2

f（

π

6

）＜

1

2

f（

π

3

），cos1f（1）＞

3

2

f（

π

6

），

3

2

f（

π

6

）＜

2

2

f（

π

4

），

2

2

f（

π

4

）＜

1

2

f（

π

3

），
则

3

f（

π

6

）＜f（

π

3

），故A正确．
2cosf（1）＞

3

f（

π

6

），故B错误．

6

f（

π

6

）＜2f（

π

4

），故C错误．

2

f（

π

4

）＜f（

π

3

），故D错误．
故选A．

点评：本题主要考查函数的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．