Question

已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=1-x，则方程f（x）=

1

-|x|

在区间[-10，10]上的解的个数是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：根据函数满足f（2+x）=f（2-x），得到函数图象关于x=2对称，再结合奇偶性推出函数的周期性，然后把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决．

解答： 解：∵函数f（x）（x∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）…①
∵f（2+x）=f（2-x）…②
∴f（x）的图象关于x=2对称，
由①②得，f（x）=f（x+4）
所以函数的周期为4，
∵画出函数f（x）和函数y=

1

-|x|

在区间[-10，10]上的大致图象，
方程f（x）=

1

-|x|

在区间[-10，10]上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
所以由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性和单调性，关键是把方程解的个数问题转化成两图象的交点个数．考查了数形结合的思想．