Question

已知数列{a_n}前项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₂+a₄+…+a_4n的和；
（Ⅲ）若记b_n=S_n+2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的通项公式前n项和公式即可得出；
（III）利用等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=2-a_n，n∈N⁺，
∴当n=1时，a₁=2-a₁，解得a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，∴a_n=a_n-1-a_n，即an=

1

2

an-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为

1

2

，
∴an=(

1

2

)n-1．
（II）由（I）可得：a_2n=(

1

2

)2n-1，
∴

a4

a2

=

1

4

，
∴a₂+a₄+…+a_4n=

1 2 [1-( 1 4 )2n]

1- 1 4

=

2

3

(1-

1

16n

)；
（III）∵S_n=2-(

1

2

)n-1，
∴b_n=S_n+2n-1=2-(

1

2

)n-1+2n-1=2n+1-(

1

2

)n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

n(3+2n+1)

2

-

1- 1 2n

1- 1 2

=n²+2n-2+

1

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．