Question

若函数f（x）=

lnkx

2

-ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可知

kx＞0 x+1＞0 lnkx 2 =ln(x+1)

可得x＞-1且x≠0，k=x+

1

x

+2，（x＞-1且x≠0），由“对号函数”的性质和集合的运算可得．

解答： 解：由题意可知

kx＞0 x+1＞0 lnkx 2 =ln(x+1)

，解得x＞-1且x≠0，
由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）²，
可得kx=（x+1）²，变形可得k=

(x+1)2

x

=x+

1

x

+2，（x＞-1且x≠0）
由“对号函数”的性质可知x+

1

x

＜-2，或x+

1

x

≥2，
∴x+

1

x

+2＜0，或x+

1

x

+2≥4，
要使函数f（x）=

lnkx

2

-ln（x+1）不存在零点，
只需k取x+

1

x

+2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，
当k=0时，函数无意义，
故k的取值范围应为：（0，4）
故答案为：（0，4）

点评：本题考查函数的零点，涉及“对号函数”的性质和集合的运算，属基础题．