Question

3．已知函数$f（x）={e^{\frac{x}{2}}}$，g（x）=2+lnx，若对任意的实数a，存在实数b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）

• A． 1-2ln2
• B． -ln2
• C． ln2
• D． 0

Answer 1

分析 由f（a）=g（b），求出a的表达式，从而得出b-a的表达式；利用导数求出b-a的最小值．

解答 解：根据题意，f（a）=g（b），
即e${\;}^{\frac{a}{2}}$=lnb+2=ln（be²），
∴$\frac{1}{2}$a=ln（ln（be²））；
∴b-a=b-2ln（ln（be²））
=lne^b-2ln（ln（be²））
=ln$\frac{{e}^{b}}{[ln（b{e}^{2}）]^{2}}$
=ln$\frac{{e}^{b}}{（lnb+2）^{2}}$，
设h（x）=$\frac{{e}^{b}}{（lnb+2）^{2}}$，
则h′（x）=$\frac{{e}^{b}（lnb+2）^{2}-2{e}^{b}（lnb+2）•\frac{1}{b}}{（lnb+2）^{4}}$，
令h′（x）=0，得lnb+2-$\frac{2}{b}$=0，
由b＞0时，y=lnb+2-$\frac{2}{b}$递增，且b=1时，方程成立．
当b=1时，h′（x）=0，b＞1，h（x）递增；0＜b＜1时，h（x）递减，
即有b=1时，b-a取得最小值．
此时a=2ln（ln（e²））=2ln2，
∴b-a的最小值是1-2ln2．
故选：A．

点评 本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．