Question

7．为了解某班学生喜爱篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱篮球的学生的概率为$\frac{3}{5}$．

	喜爱篮球	不喜爱篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）以该班学生的情况来估计全校女生喜爱篮球的情况，用频率代替概率．现从全校女生中抽取3人进一步调查，设抽到喜爱篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由已知条件能把列联表补充完整．
（2）求出K²≈8.333＞7.879，从而在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱篮球与性别有关．
（3）从全校女生中随机抽取1人，抽到喜爱篮球的女生的概率为$\frac{2}{5}$，抽到喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出ξ的分布列与期望．

解答 解：（1）列联表补充如下：-----------------------（3分）

	喜爱篮球	不喜爱篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

（3分）
（2）∵K²=$\frac{50×（20×15-10×5）}{30×20×25×25}$≈8.333＞7.879，
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱篮球与性别有关．--------------（6分）
（3）从全校女生中随机抽取1人，抽到喜爱篮球的女生的概率为$\frac{2}{5}$
抽到喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），--------（8分）
其概率为$P（ξ=k）={C_3}^k{（\frac{2}{5}）^k}•{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）=\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}=\frac{8}{125}$，--------（10分），
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{8}{125}$

ξ的期望值为$Eξ=3•\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$---------------------（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．