Question

18．已知函数$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒为负值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 要使函数$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒为负值，只需$0＜\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＜1$在x∈[1，2]上恒成立即可．由函数f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]递减，可得实数a的取值范围．

解答 解：要使函数$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒为负值，只需$0＜\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＜1$在x∈[1，2]上恒成立即可．
①若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＞0$在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]递减，∴只需f（2）=1-2+a＞0，可得a＞1；
②若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$＜1在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]递减，∴只需f（1）=$\frac{1}{4}-1+a$＜1，可得a$＜\frac{7}{4}$
综上，实数a的取值范围为（1，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．