Question

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1．
（1）判断f（x）的单调性，并用定义法证明；
（2）求f（x）在[0，3]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，得f（x）为奇函数．令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），结合x＞0时f（x）＜0，结合函数单调性的定义可得结论．
（2）运用（1）的结论和条件f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-1，求出f（3）即可．

解答： 解：（1）f（x）在R上是减函数．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，则f（0+y）=f（0）+f（y）
∴f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
∴f（x）为R上的奇函数，
令x₂＞x₁则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）为R上的单调减函数；
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-1，
∴f（2）=2f（1）=-2，f（3）=f（2）+f（1）=-3，
∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[0，3]上的值域是[f（3），f（0）]，即[-3，0]．

点评：本题以抽象函数为载体考查了函数求值，函数的奇偶性，函数的单调性和函数的最值，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键．